Özet:
Bu tez çalışmasında, bazı klasik özel fonksiyon ailelerinin matris genişlemeleri üzerine çalışılacaktır. Hermite matris polinomlarının sağladığı toplam ve çarpım formülleri, sahip olduğu diğer üreteç fonksiyonları ve hipergeometrik matris fonksiyonları gösterimleri elde edilecektir. Genelleştirilmiş Hermite matris polinomları tanımlanarak, sağladığı özeliklerde uygun parametre seçimleriyle Hermite matris polinomları için Burchnall operatör formülü ve Nielsen bağıntısı ispatlanacaktır. Laguerre matris polinomlarının üreteç fonksiyonu modifiye edilerek modifiye Laguerre matris polinomları tanımlanacak, sağladığı üç terimli rekürans bağıntısı, Rodrigues formülü, matris diferansiyel denklemi ve sahip olduğu bilineer ve bilateral üreteç fonksiyonları incelenecektir. Ayrıca, Laguerre-tipli matris polinomları için yeni bir genelleştirme verilecektir. II. tip Chebyshev matris polinomları genelleştirilerek, özellikleri araştırılacaktır. Sağladığı bir integral gösterimi kullanılarak bu matris polinomları için bazı operatör formülleri ispatlanacaktır. Ayrıca, II. tip Chebyshev matris polinomlarının sağladığı bir matris diferansiyel denklem elde edilecektir. Genelleştirilmiş Humbert matris polinomları için bazı rekürans bağıntıları, matris diferansiyel denklemi, integral gösterimi gibi özellikler araştırılacaktır. Ayrıca, Gegenbauer matris polinomları için bir seri dönüşüm formülü ispatlanarak birkaç uygulaması verilecektir. Gamma matris fonksiyonunun bir fonksiyonel eşitliği ispatlanacaktır. Bununla birlikte, sinüs matris fonksiyonu için bir sonsuz çarpım formülü elde edilecektir. Riemann zeta matris fonksiyonu tanımlanarak bazı matris integralleri hesaplanacaktır. Son olarak, Riemann zeta matris fonksiyonun bir fonksiyonel eşitliği ispatlanacaktır.
